# Wiskunde — Hoofdstuk 3 - Gelijkvormigheid
Bron: Toets-Mij (Gelijkvormigheid)

Vraag 1

Beantwoord de volgende vraag.
Zijn deze twee figuren een vergroting van elkaar? Leg met een berekening uit waarom wel of niet. (§3.1)

Als de twee figuren een vergroting van elkaar zijn, moet de deling van elke paar overeenkomende zijden hetzelfde opleveren.
$20:30=0,666…$
$20,6:30,7=0,671…$
Antwoord: De twee delingen leveren niet exact dezelfde factor op, dus de figuren zijn geen vergroting van elkaar.

Vraag 2

Beantwoord de volgende vraag.
De twee driehoeken hieronder zijn gelijkvormig. 
Schrijf de overeenkomstige hoeken op. (§3.3)
Schrijf de overeenkomstige zijden op. (§3.3)

∠
B
=
∠
E
\angle B=\angle E
∠
B
=
∠
E
 (beide rechte hoeken)
∠
A
=
∠
D
\angle A=\angle D
∠
A
=
∠
D
∠
C
=
∠
C
\angle C=\angle C
∠
C
=
∠
C
B
C
=
E
C
BC=EC
BC
=
EC
A
B
=
D
E
AB=DE
A
B
=
D
E
A
C
=
D
C
AC=DC
A
C
=
D
C

Vraag 3

Beantwoord de volgende vraag.
Rechthoek $EFGH$ is een vergroting van rechthoek $ABCD$. 
Bereken met een deling de factor van deze vergroting. (§3.1)
Omgekeerd is rechthoek $ABCD$ ook een vergroting van rechthoek $EFGH$, welke factor hoort bij deze vergroting? (§3.1)
Bereken de lengte van zijde $FG$. (§3.2)

Zijde $HG$ is een vergroting van zijde $AD$. (in een rechthoek zijn overstaande zijden even lang, dus het maakt niet uit of we $EF$ nemen of $HG$.)
$factor=lengte\ zijde\ HG:lengte\ zijde\ AD$
$factor=25:20=1,25$
Zijde $AD$ is nu een vergroting van zijde $HG$.
$factor=lengte\ zijde\ AD:lengte\ zijde\ HG$
$factor=20:25=0,8$
Zijde $FG$ is een vergroting van zijde $DC$ met factor 1,25 (zie a). 
$lengte\ zijde\ FG=15\times 1,25=18,75$
Antwoord: $FG=18,75$

Vraag 4

Beantwoord de volgende vraag.
Teken de vergroting van onderstaande figuur met factor 0,2. (§3.2)

Stap 1: Bereken de lengten van de zijden van de vergroting.
Zet voor het gemak hoekpunten bij de hoeken.
Zijde 
A
B
AB
A
B
 is 10 hokjes lang. De vergroting is dus 
0
,
2
×
10
=
2
0,2\times 10=2
0
,
2
×
10
=
2
 hokjes lang. 
Zijde 
B
C
BC
BC
 gaat 5 hokjes naar links en 5 omhoog. De vergroting gaat dus 
0
,
2
×
5
=
1
0,2\times 5=1
0
,
2
×
5
=
1
 hokje naar links en 1 omhoog.
Zijde 
C
D
CD
C
D
 is 5 hokjes lang. De vergroting is dus 
0
,
2
×
5
=
1
0,2\times 5=1
0
,
2
×
5
=
1
 hokje lang.
Zijde 
A
D
AD
A
D
 is 5 hokjes lang. De vergroting is dus 
0
,
2
×
5
=
1
0,2\times 5=1
0
,
2
×
5
=
1
 hokje lang.
Stap 2: Teken het figuur.
Start met zijde 
A
B
AB
A
B
. 
Teken zijde 
B
C
BC
BC
 1 hokje naar links en 1 hokje omhoog.
Teken zijde 
C
D
CD
C
D
 1 hokje naar links en maak de figuur af.
Antwoord:

Vraag 5

Beantwoord de volgende vraag.
Driehoek $DEF$ is een vergroting van driehoek $ABC$ met factor 2,5. Bereken de omtrek en oppervlakte van driehoek $DEF$. Gebruik dat je de oppervlakte van driehoek $ABC$ berekend met de volgende formule: $oppervlakte\ ABC=0,5\times lengte\ AC\times lengte\ AB$. (§3.4)

Stap 1: Bereken de omtrek van driehoek $ABC$.
Tel de lengten van de zijden op om de omtrek te berekenen.
$omtrek=2,5+6,5+6=15$
Stap 2: Gebruik de factor om de omtrek van driehoek $DEF$ te berekenen.
$omtrek\ DEF=15\times 2,5=37,5$
Stap 3: Bereken de oppervlakte van driehoek $ABC$.
$oppervlakte\ ABC=0,5\times lengte\ AC\times lengte\ AB$
$oppervlakte\ ABC=0,5\times 2,5\times 6=7,5$
Stap 4: Bereken de oppervlakte van driehoek $DEF$.
Vermenigvuldig de oppervlakte van driehoek $ABC$ met de factor in het kwadraat. 
$oppervlakte\ DEF=7,5\times 2,5^2=46,875$
Antwoord: De omtrek van $DEF$ is 37,5 en de oppervlakte 46,875.

Vraag 6

Beantwoord de volgende vraag.
De twee onderstaande figuren zijn vergrotingen van elkaar. 
Bereken de lengte van het rode lijnstuk. (§3.2)
Bereken de lengte van het groene lijnstuk. Rond af op twee decimalen. (§3.2)

Stap 1: Bereken de factor.
We willen weten wat de factor van de figuur met het rode lijnstuk ten opzichte van het andere figuur is. 
f
a
c
t
o
r
=
90
:
80
=
1
,
125
factor=90:80=1,125
f
a
c
t
or
=
90
:
80
=
1
,
125
Dus de figuur met het rode lijnstuk is 1,125 keer zo groot als de andere figuur.
Stap 2: Bereken de lengte van het rode lijnstuk.
Het rode lijnstuk komt overeen met de zijde met lengte 30.
l
e
n
g
t
e
 
r
o
d
e
 
z
i
j
d
e
=
30
×
1
,
125
=
33
,
75
lengte\ rode\ zijde=30\times 1,125=33,75
l
e
n
g
t
e
 
ro
d
e
 
z
ij
d
e
=
30
×
1
,
125
=
33
,
75
Antwoord: 33,75
 
Stap 1: Bereken de factor.
We willen weten wat de factor van de figuur met het groene lijnstuk ten opzichte van het andere figuur is. 
f
a
c
t
o
r
=
80
:
90
=
0
,
888
…
factor=80:90=0,888…
f
a
c
t
or
=
80
:
90
=
0
,
888
…
Rond het tussenantwoord niet af, maar reken door met ‘ans’ op je rekenmachine.
Dus de figuur met het groene lijnstuk is 0,888… keer zo groot als de andere figuur.
Stap 2: Bereken de lengte van het groene lijnstuk.
Het groene lijnstuk komt overeen met de zijde met lengte 51,6.
l
e
n
g
t
e
 
g
r
o
e
n
e
 
z
i
j
d
e
=
51
,
6
×
0
,
888
…
≈
45
,
87
lengte\ groene\ zijde=51,6\times 0,888…\approx 45,87
l
e
n
g
t
e
 
g
roe
n
e
 
z
ij
d
e
=
51
,
6
×
0
,
888
…
≈
45
,
87
 (gebruik ‘ans’ op je rekenmachine voor de factor)
Antwoord: 45,87

Vraag 7

Beantwoord de volgende vraag.
Lotte staat met een foto van haar volleybalteam in de krant. De foto in de krant is 12 cm lang en 3 cm breed. Zie de afbeelding hieronder. Ze wil deze foto graag vergroten en op haar slaapkamer hangen. De foto op haar kamer moet 6 dm lang worden.
Bereken de breedte van de foto op haar kamer in dm. (§3.2)

Stap 1: Bereken de factor.
In het plaatje zien we dat de foto nu 12 cm lang is. De foto moet 6 dm lang gemaakt worden. 
Voordat we de factor kunnen berekenen moeten de lengtes eerst in dezelfde eenheid staan. Ons antwoord moeten we in dm geven dus we werken naar dm.
$12 cm=1,2 dm$
Dus het origineel is 1,2 dm en de vergroting is 6 dm.
$factor=6:1,2=5$
Stap 2: Bereken de nieuwe breedte. 
De oude breedte is 3 cm. Reken dit om naar dm.
$3 cm=0,3 dm$
Het origineel moet met factor 5 worden vergroot. 
$0,3\times 5=1,5 dm$
Antwoord: De poster is 1,5 dm breed.

Vraag 8

Beantwoord de volgende vraag.
Zijn de vierhoeken $ABCD$ en $EFGH$ gelijkvormig? (§3.3)

Stap 1: Ga na of de hoeken gelijk zijn.
In een vierhoek is de som van de hoeken $360^\circ$. 
We moeten $\angle D$ en $\angle G$ nog berekenen. We gebruiken dat de hoeken samen 360 graden zijn, en trekken dus de rest van de hoeken van 360 af. 
$\angle D=360-90-63-76=131^\circ$
$\angle G=360-90-131-63=76^\circ$
Dus $\angle A=\angle E, \angle B=\angle F, \angle C=\angle G$ en $\angle D=\angle H$
De overeenkomstige hoeken zijn gelijk. 
Stap 2: Maak een tabel met de lengten van de zijden.
Zet overeenkomstige zijden onder elkaar.
Stap 3: Ga na of de tabel een verhoudingstabel is.
Deel hiervoor alle overeenkomstige zijden en kijk of elke deling hetzelfde oplevert.
$EF:AB=14,4:12=1,2$
$FG:BC=12:10=1,2$
$GH:CD=9,6:8=1,2$
$HE:DA=10,8:9=1,2$
Let op dat je alle delingen uitvoert!
Alle delingen leveren dezelfde factor op, dus de tabel is een verhoudingstabel.
Antwoord: De hoeken zijn gelijk en de bijbehorende tabel is een verhoudingstabel dus de twee vierhoeken zijn gelijkvormig.

Vraag 9

Beantwoord de volgende vraag.
Driehoek $ADE$ en driehoek $ACB$ zijn gelijkvormig. Bereken zijde $BC$. (§3.4)

Stap 1: Teken een tabel. 
Zet gelijkvormige zijden onder elkaar.
Zet de grootste driehoek op de bovenste rij.
Stap 2: Bereken de factor. 
Gebruik twee zijden onder elkaar die je weet. 
We weten zijden $AB=9$ en $AE=4$
$factor=9:4=2,25$
Stap 3: Gebruik de factor om de gevraagde zijde te berekenen. 
We willen $CB$ weten. 
$CB=3\times 2,25=6,75$
Antwoord: $CB=6,75$

Vraag 10

Beantwoord de volgende vraag.
Door een lek in een olietank stroomt olie in het water van de zee. De olievlek wordt met grote snelheid steeds groter. Aanvankelijk nam de olievlek nog maar $2\ km^2$ van het wateroppervlak in beslag. Vier uur later is de oppervlakte van de olievlek sterk vergroot. De factor die bij deze vergroting hoort is 25. 
Bereken de oppervlakte van de olievlek na 4 uur. (§3.4)

Na 4 uur is de olievlek met factor 25 vergroot. Voor een oppervlaktevergroting gebruiken we de formule: $oppervlakte\ vergroting=factor^2\times oppervlakte\ origineel$.
$oppervlakte\ vergroting=25^2\times 2=1250 km^2$.
Antwoord: $1250\ km^2$